Zeynep Bozbay ist 1992 in Berlin geboren und dort aufgewachsen. Erste Theatererfahrung sammelte sie bereits vor dem Studium, u. a. am Deutschen Theater Berlin in Nurkan Erpulats «Crash» und bei P14, dem Jugendtheater der Volksbühne am Rosa-Luxemburg-Platz.
Sie studierte von 2012 bis 2016 Schauspiel am Mozarteum Salzburg. Für ihre erste Arbeit nach dem Studium, «Wut» in der Regie von Nicolas Stemann, wurde sie 2016 in der Fachzeitschrift Theater heute als beste Nachwuchsschauspielerin nominiert. Ab 2017 war sie Teil des Ensembles der Münchner Kammerspiele unter der Intendanz von Matthias Lilienthal und blieb dort bis 2022. Anschliessend gastierte sie am Schauspielhaus Zürich.
Zusammenarbeiten verbinden sie u.a. mit Pınar Karabulut, Yael Ronen, Stefan Pucher und Jan Bosse. Zudem dreht sie regelmässig für Film und Fernsehen. So ist sie beispielsweise in der Serie «Damaged Goods», die 2023 den Jupiter Award für die beste Serie gewann, sowie in der ZDFneo-Produktion «Späti» und im «Tatort Stuttgart» zu sehen. 2025 und 2026 erscheinen zudem mehrere Kinofilme, in denen sie mitgewirkt hat, u. a. der Debütfilm von Sebastian Husak »Bubbles», sowie «Wovon sollen wir träumen» und «3 Kameradinnen» in der Regie von Milena Aboyan.
Mit Beginn der Spielzeit 2025/26 gehört Zeynep Bozbay zum Ensemble des Schauspielhaus Zürich.